13.4 直方图的绘制
简单而言，绘制直方图的基本步骤为：
选择区间数：根据数据的范围和分布情况，选择合适的区间数 \(K\)。
计算区间宽度：根据数据的最大值和最小值，计算每个区间的宽度 \(h\)。
统计频数：统计每个区间内的数据点数量，得到频数 \(f_k\)。
绘制直方图：使用绘图工具将频数、频率或密度绘制成直方图，横轴表示区间，纵轴表示频数、频率或密度。
下面做详细介绍。
假设我们有一组数据 \(\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}\)，绘制直方图的主要步骤如下： >Step 1： 确定区间总数（K）
将数据划分为 \(K\) 个区间。常见的选择区间总数的方法有：
经验法则：通常取 \(K = 10\) 或 \(K=20\)。
斯特金斯法则（Sturges’ Rule）
\[K = \lceil \log_2 N + 1 \rceil\]
其中，\(\lceil z \rceil\) 表示对 \(z\) 向上取整。
费根纳法则（Freedman-Diaconis Rule）
\[K = \lceil \frac{2 \cdot IQR \cdot N^{-\frac{1}{3}}}{h} \rceil\]
其中，\(IQR\) 为四分位距，\(h\) 为区间宽度。
相机调整法则（Rice Rule） 在 Stata 中，区间总数 \(K\) 的选取与样本数 \(N\) 有关：
\[K = \min \left\{\sqrt{N}, \frac{10 \ln(N)}{\ln(10)}\right\}\]
该方法结合平方根法则和对数法则，适用于不同规模的数据集。当 \(N<784\) 时，可直接采用 \(\sqrt{N}\) 快速计算。
Step 2： 确定区间宽度
区间宽度 \(h\) 根据数据的范围和区间总数 \(K\) 确定： \[
h = \frac{\max(x) - \min(x)}{K}
\]
Step 3： 确定区间边界
设数据的最小值为 \(x_{\min}\)，最大值为 \(x_{\max}\)，则区间的边界可以表示为：
\[
b_k = x_{\min} + (k-1) \cdot h \quad \text{for } k = 1, 2, \ldots, K+1
\]
每个区间为 \([b_k, b_{k+1})\)，最后一个区间为 \([b_K, b_{K+1}]\)。
Step 4： 统计每个区间的观察值个数
统计每个区间内的观察值个数，即每个区间的频数 \(f_k\)：
\[
f_k = \sum_{j=1}^{N} I(b_k \leq x_j < b_{k+1}) \quad \text{for } k = 1, 2, \ldots, K
\]
其中 \(I(\cdot)\) 为指示函数，当条件为真时，取值为 \(1\)，否则取值为 \(0\)。
Step 5： 绘制直方图
绘制直方图时，将每个区间的频数 \(f_k\) 作为柱状图的高度。对于区间 \([b_k, b_{k+1})\)，其对应的柱状图高度为 \(f_k\)，宽度为 \(h\)。
当然，也可以根据需要用频率或密度来绘制直方图。