在上一篇的教程中，我们讨论了随机变量以及对应的累积分布函数与概率密度函数。本篇将深入到常见的概率分布之一——二项分布。理解二项分布不仅对基础统计学的重要性不言而喻，也对我们在数据科学与人工智能领域中的应用至关重要。
什么是二项分布？
二项分布是指在进行一系列独立的伯努利实验（即每次实验只有两个可能的结果，例如“成功”与“失败”）后，成功次数的分布。其核心思想是通过多个相同实验结果的重复，来分析成功事件的概率。
二项分布的参数
二项分布由两个参数决定：
nnn：实验的总次数。
ppp：每次实验成功的概率。
我们用随机变量 XXX 来表示在 nnn 次实验中成功的次数。XXX 服从参数为 nnn 和 ppp 的二项分布，记作 X∼B(n,p)X \sim B(n, p)X∼B(n,p)。
二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数（PMF）定义为：
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k
这里，(nk)\binom{n}{k}(kn) 是组合数，表示从 nnn 次实验中选择 kkk 次成功的方式。
期望和方差
对于二项分布，期望和方差的公式为：
期望：E(X)=n⋅pE(X) = n \cdot pE(X)=n⋅p
方差：Var(X)=n⋅p⋅(1−p)Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)Var(X)=n⋅p⋅(1−p)
实际案例
我们以一个简单的抛硬币为例来说明二项分布的应用。假设我们抛一枚均匀的硬币 10 次，每次出现正面的概率为 p=0.5p = 0.5p=0.5。
实验设置：n=10n = 10n=10，p=0.5p = 0.5p=0.5
我们想知道：在 10 次抛掷中，得到正面（成功）次数为 3 的概率。
根据二项分布的概率质量函数，我们可以计算：
P(X=3)=(103)(0.5)3(0.5)10−3=(103)(0.5)10P(X = 3) = \binom{10}{3} (0.5)^3 (0.5)^{10-3} = \binom{10}{3} (0.5)^{10}P(X=3)=(310)(0.5)3(0.5)10−3=(310)(0.5)10
计算组合数：
(103)=10!3!⋅7!=10⋅9⋅83⋅2⋅1=120\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120(310)=3!⋅7!10!=3⋅2⋅110⋅9⋅8=120
所以，
P(X=3)=120⋅(0.5)10=120⋅11024≈0.1172P(X = 3) = 120 \cdot (0.5)^{10} = 120 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0.1172P(X=3)=120⋅(0.5)10=120⋅10241≈0.1172
这个结果表明，在 10 次抛掷中得到 3 次正面的概率为约 11.72%。
代码示例
我们可以用 Python 来计算不同成功次数的概率：
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
n = 10 # 实验次数
p = 0.5 # 成功概率
# 可视化二项分布的概率质量函数
x = np.arange(0, n+1)
pmf = stats.binom.pmf(x, n, p)
plt.bar(x, pmf, color='blue', alpha=0.7)
plt.title(f'Binomial Distribution PMF (n={n}, p={p})')
plt.xlabel('Number of Successes')
plt.ylabel('Probability')
plt.xticks(x)
plt.show()
运行上面的代码可以生成一个条形图，展示在 n=10n=10n=10 次实验中获得不同成功次数的概率分布情况。
小结
在本篇中，我们详细探讨了二项分布的定义、公式以及如何通过实际案例来计算概率。下一篇教程我们将讨论正态分布，这是概率与统计中一个更为复杂且重要的概念。在深入了解正态分布之前，确保对本篇的内容理解透彻，这是非常关键的基础知识。